[Sabías que...] La función de Weierstrass


  • 0

    ! (Spoiler)

    La función de Weierstrass W(x) es la primera función descubierta que es continua en toda la recta real pero no derivable en ningún punto. Es decir, para cualquier número real x:

    x(,+) x\in(-\infty, +\infty)

    resulta que W(x) es continua ("se puede dibujar sin levantar el bolígrafo del papel") pero no es derivable ("la pendiente de la curva depende del sentido en el que movemos el bolígrafo").

    Esto se traduce en que es una función "fractal", en cada punto tiene un pico semejante al que la función f(x)=x f(x) = |x| tiene en x = 0:

    valor absoluto

    (En ese dibujo se puede ver como esa función se puede dibujar sin levantar el bolígrafo del papel, pero el ángulo que forma la gráfica con el eje horizontal en x=0 no está definido... es decir, hay dos valores posibles)

    Es bastante complicado imaginar una función con esas propiedades en todos los puntos. Para -2 < x < 2, su gráfica es la siguiente:

    Si nos acercamos podemos ver más y más detalle. Pero da igual cuánto zoom hagamos, la función nunca es suave. Weierstrass la escribió de la siguiente forma:

    f(x)=n=0ancos(bnπx) f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a^n cos(b^n \pi x)
    para 0 < a < 1 y b un número entero impar tal que

    ab1+32π ab \geq 1 + \frac{3}{2} \pi

    ! (Spoiler) En realidad el "igual" no debería considerarse, pero el foro no me permite poner > en modo Latex :roto2:
    :mgalletas:

    Una animación haciendo zoom en un punto:



  • 1

    muy curioso, conoces alguna aplicación? :elboinas: luego buscaré yo también xDD



  • 2

    ¡Muy interesante! Más hilos así debería haber por aquí. :elboinas:

    PD: Error
    Ya has votado a este usuario este mes xD



  • 3

    @Pixel dijo:

    muy curioso, conoces alguna aplicación? :elboinas: luego buscaré yo también xDD

    No he encontrado nada evidente más allá de que es una función "no tan rara" como podría parecer.



  • 4

    @SgtBurden dijo:

    No he encontrado nada evidente más allá de que es una función "no tan rara" como podría parecer.

    :mola: El gif está chulo, es realmente curioso que sea fractal.



  • 5

    Interesante :D



  • 6

    Muy bueno el gif, lo explica bastante bien.



  • 7
    ¡Esta publicación está eliminada!


  • 8

    @Pixel dijo:

    muy curioso, conoces alguna aplicación? :elboinas: luego buscaré yo también xDD

    Que yo sepa la única aplicación es probar que porque una función sea continua en un intervalo no significa que sea derivable en ningún punto, ni siquiera si ese intervalo es (,)(-\infty , \infty )



  • 9

    Me gustan mucho estas curiosidades matemáticas :mola:



  • 10

    He entendido menos de la mitad, pero gustan este tipo de hilos (no es coña)



  • 11

    Acabo de leer en mathworld (wolframalpha) que la función de Weierstrass es derivable en algunos puntos, pero el conjunto de puntos en los que la función es derivable tiene medida nula.



  • 12

    @Hawkings dijo:

    Acabo de leer en mathworld (wolframalpha) que la función de Weierstrass es derivable en algunos puntos, pero el conjunto de puntos en los que la función es derivable tiene medida nula.

    eso cómo se come? :eing:



  • 13

    @Pixel dijo:

    eso cómo se come? :eing:

    Significa que es derivable en unos pocos puntos, infinitos, pero pocos comparados con todos los números reales xD



  • 14

    @Hawkings dijo:

    Acabo de leer en mathworld (wolframalpha) que la función de Weierstrass es derivable en algunos puntos, pero el conjunto de puntos en los que la función es derivable tiene medida nula.

    Lo había visto, pero no me quedó claro si esa definición incluye a esta función.

    Probablemente.




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